免疫测定中标准曲线拟合常用的函数

免疫学中，常常测定未知标本的同时，以系列浓度标准品测得剂量反应曲线（即标准曲线），以此推算未知标本的浓度。而免疫学标准曲线一般均为非线性的，不同的数学模式（函数）可以用来改善标准曲线绘制的精密度，从而以较少的数据和计算获得较为准确的结果。其常用的数学模式（函数）主要如下。

一、插值法

数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。即插值是找到一个（或几个分片光滑的）连续曲面来穿过这些点。插值法又可分为点对点（线性插值法）和样条插值法。

1、点对点法

点对点（线性插值）是指将临近的校准点以点对点的方式用一条直线连接起来。如下图。当数据点个数增加和它们之间距离减小时，线性插值就更精确。

Point-to-point

适用范围：线性范围大或数据点多且相互精密相连。

处理：为使数据更具有线性关系，可对数据进行某些方式的转换（如对数转换），然后在转换数据上进行线性插值。

2、样条插值法

样条插值法是指将临近的校准点以一条曲线连起来，对整个标准曲线上各点间的短片段进行数学计算得到一条曲线，所获得的合成数学函数称为样条函数。如下图。最常用的方法是3阶多项式，对相继数据点之间的各段建模，这种类型的插值被称为3次样条或简称样条。

Spline-interpolation

适用范围：当希望曲线密切遵循单个的校准物数据点时，或数据非常精密并有多个校准物时可选用，否则应避免使用。

处理：为将每一个短曲线相互之间平滑地连起来，需对其进行修饰，这需要反复重新计算所有的曲线直至每一片段与其数据点的拟合间的连接可以接受。

二、曲线拟合或回归

设法找出某条光滑曲线，使它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。曲线及相应数学公式表明数据对（如标准品浓度与测定信号）之间的比例关系。常见的拟合模式有指数曲线拟合、对数曲线拟合、双曲线模式、多项式模式、Log-Logit转换、Logistic公式（两参数、四参数）等。

1、双曲线模式

双曲线拟合是指将校准物浓度的倒数对测定反应作图或以B0/B对校准物浓度作图。如下图。

Hyperbolic-model

适用范围：竞争性免疫测定数据（在限定范围内的值）能拟合很好的平滑曲线。

问题：1）标准曲线的端值得不到好的拟合（特别是低浓度端）；

2）测定误差为倒数，与实际误差规律相反。

3）不具有S形，限制了应用。

2、多项式模式

多项式拟合是指将测定反应信号对校准物浓度作图。高阶多项式给出很差的数值特性，一般不应选择比所需的阶次高的多项式。如下图。

Polynomial-model

适用范围：1）一个三次多项式可被快速和成功地用于竞争免疫测定数据拟合。

2）非竞争性免疫测定：有部分校准曲线为直线，可能拟合不好；X的次方为非整数时能够再现校准曲线的实际线性部分，但在零浓度附近和高浓度时不准确，需要截尾。

问题：一个给定反应值可能对应两个结果，因此，需要对校正曲线进行截尾。

3、Log-Logit转换曲线

Log-Logit转换曲线拟合是指将logit（B/B0）对校准物浓度的浓度的对数作图。经过转换后，进行最小平方回归可得到良好的直线。如下图。

Log-Logit

适用范围：竞争免疫测定数据拟合。

问题：1）不能包含零校准物点。

2）不能包含放免中的非特异结合数据。

4、Logistic公式（两参数，四参数）

Logistic公式拟合是指将测定反应信号对校准物浓度的对数作图。曲线呈S型。对转换后的曲线进行最小平方回归可得到直线。

问题：与直线公式相比，Logistic公式在代数学上是一个相当复杂的公式，因此找出“最佳拟合”相对较难。

参数：a，b，c，d四参数，或代入a、d值，则为b、c两参数。

除了上述的函数外，生物学中常用的拟合函数还有Yield-Density Models，Growth Models，Miscellaneous Models等。

三、拟合函数的选择

在选择拟合函数时，除了按照竞争免疫测定和非竞争免疫测定等粗略筛选外。

1）可以先根据数据对做出散点图，然后按照散点图的走势，直观判断确定拟合函数。如下图。

2）亦可以通过软件（如Curve Expert），自动做出所有拟合函数下的标准曲线，然后根据R²值选择。

choice-fitting-function